Teori dan Aplikasi persamaan Lagrange

Teori dan Aplikasi Persamaan Lagrange
Erwingea_pendfis16'_fsmuksw

Teori dan Aplikasi persamaan Lagrange

            Dalam pembahasan tentang persamaan diferensial parsial kita mendapatkan kondisi , dimana nilai dari  sebagai fungsi dan , untuk menyelesaikan persamaan tersebut, kita harus mendeferensialkan nilai z terhadap dan , agar dapat memperoleh penyelesaian akhir dari persamaan tersebut. Metode persamaan diferensial parsial ini berlaku juga pada persamaan Lagrange.

            Persamaan Lagrange kita kenal sebagai pengembangan dan analisis gerak dari hukum Newton

                                                                                    

                                                                                                                               (1.1)

Analisis gerak menggunakan Lagrange secara umum kita kenal sebagai selisih antara energi kinetik dengan energi potensial yang berkerja pada benda,  secara matematis kita bisa menuliskannya sebagai berikut :  

                                                                                                          

                                                                                                                               (1.2)                                            

dimana :

                                          atau                                            (1.3)                                                 atau                                                   (1.4)

                                        

                                                                                                                             

Didalam persamaan Lagrange analisis kita  bergantung pada energi kinetik dan energi potensial yang berkerja pada sebuah benda/partikel di suatu koordinat  tertentu, disamping hal itu kita harus memperhatikan batasan gerak dari benda/partikel, apakah benda/partikel bergerak dalam arah sumbu  Oleh karena itu, maka kita bisa memperoleh persamaan umum lagrange , secara matematis dapat dituliskan ;

                                                                                                           (1.5)          

Penerapan persamaan Lagrange

Dibawah ini, contoh penerapan persamaan Lagrange dalam kasus gerak suatu benda/partikel dalam koordinat polar dengan mengunakan variabel   dan  

Gambar 1.1 Koordinat Polar

Jawab : untuk menjawab kasus  seperti dalam Gambar 1.1, maka kita harus mengetahui

              persamaan posisi dari benda tersebut.

Posisi benda/partikel pada koordinat polar ;

Kecepatan dari partikel  ;

 

 

Energi kinetik dan potensial dari partikel tersebut ;

Maka kita bisa substitusikan   dan    kedalam persama Lagrange. 

Untuk menyelesaikan persamaan tersebut kita deferensialkan  terhadap   dan  , seperti yang di tunjukkan  dibawah ini

  

                                                                                  

Untuk   ;

                                                          

untuk   ;

                                                          

            Kita perhatikan nilai dari    dan     merupakan komponen gaya-gaya yang berkerja pada benda/partikel dalam arah     dan  .komponen komponen percepatan yang berkerja pada sistem merupakan

 

  . 

                                

   =  percepatan sentripental  partikel                                                             (1.6)  

  =    percepatan coriolis partikel

Penerapan persamaan lagrange  masih banyak berlaku pada gerak suatu sistem yang berhubungan dengan hukum Newton ke II. dengan berakhirnya penulisan makalah ini, sebagai penulis saya mengucapkan terimakasih  kepada dosen yang mengajar Mekanika II dan memberi materi kuliah Persamaan Lagrange.



Erwin gea, kutipan
''tugas adalah bagaian dari pembekalan peserta didik, tapi terkadang tugas dibuat hanya formalitas untuk memenuhi tuntutan dari para pendidik''

Referensi;

1.        Keith & Symon/ mecanics, third edition.

2.        Mary L. Boas/ matematical methods in the physical sciences,second edition