Teori dan Aplikasi persamaan Lagrange

Teori dan Aplikasi Persamaan Lagrange
Erwingea_pendfis16'_fsmuksw

Teori dan Aplikasi persamaan Lagrange

            Dalam pembahasan tentang persamaan diferensial parsial kita mendapatkan kondisi , dimana nilai dari  sebagai fungsi dan , untuk menyelesaikan persamaan tersebut, kita harus mendeferensialkan nilai z terhadap dan , agar dapat memperoleh penyelesaian akhir dari persamaan tersebut. Metode persamaan diferensial parsial ini berlaku juga pada persamaan Lagrange.

            Persamaan Lagrange kita kenal sebagai pengembangan dan analisis gerak dari hukum Newton

                                                                                    

                                                                                                                               (1.1)

Analisis gerak menggunakan Lagrange secara umum kita kenal sebagai selisih antara energi kinetik dengan energi potensial yang berkerja pada benda,  secara matematis kita bisa menuliskannya sebagai berikut :  

                                                                                                          

                                                                                                                               (1.2)                                            

dimana :

                                          atau                                            (1.3)                                                 atau                                                   (1.4)

                                        

                                                                                                                             

Didalam persamaan Lagrange analisis kita  bergantung pada energi kinetik dan energi potensial yang berkerja pada sebuah benda/partikel di suatu koordinat  tertentu, disamping hal itu kita harus memperhatikan batasan gerak dari benda/partikel, apakah benda/partikel bergerak dalam arah sumbu  Oleh karena itu, maka kita bisa memperoleh persamaan umum lagrange , secara matematis dapat dituliskan ;

                                                                                                           (1.5)          

Penerapan persamaan Lagrange

Dibawah ini, contoh penerapan persamaan Lagrange dalam kasus gerak suatu benda/partikel dalam koordinat polar dengan mengunakan variabel   dan  

Gambar 1.1 Koordinat Polar

Jawab : untuk menjawab kasus  seperti dalam Gambar 1.1, maka kita harus mengetahui

              persamaan posisi dari benda tersebut.

Posisi benda/partikel pada koordinat polar ;

Kecepatan dari partikel  ;

 

 

Energi kinetik dan potensial dari partikel tersebut ;

Maka kita bisa substitusikan   dan    kedalam persama Lagrange. 

Untuk menyelesaikan persamaan tersebut kita deferensialkan  terhadap   dan  , seperti yang di tunjukkan  dibawah ini

  

                                                                                  

Untuk   ;

                                                          

untuk   ;

                                                          

            Kita perhatikan nilai dari    dan     merupakan komponen gaya-gaya yang berkerja pada benda/partikel dalam arah     dan  .komponen komponen percepatan yang berkerja pada sistem merupakan

 

  . 

                                

   =  percepatan sentripental  partikel                                                             (1.6)  

  =    percepatan coriolis partikel

Penerapan persamaan lagrange  masih banyak berlaku pada gerak suatu sistem yang berhubungan dengan hukum Newton ke II. dengan berakhirnya penulisan makalah ini, sebagai penulis saya mengucapkan terimakasih  kepada dosen yang mengajar Mekanika II dan memberi materi kuliah Persamaan Lagrange.



Erwin gea, kutipan
''tugas adalah bagaian dari pembekalan peserta didik, tapi terkadang tugas dibuat hanya formalitas untuk memenuhi tuntutan dari para pendidik''

Referensi;

1.        Keith & Symon/ mecanics, third edition.

2.        Mary L. Boas/ matematical methods in the physical sciences,second edition

Alasan kita belajar fisika

Alasan Kita Belajar FISIKA

Erwingea_pendfis16'_fsmuksw

alasankita belajar fisika

>>>Mengapa kita belajar Fisika?

Pertanyaan muncul ketika kita merenungkan sesuatu pekerjaan yang sendang kita kerjakan, ada dua alasan utama kenapa kita belajar fisika. Pertama, fisika itu adalah salah satu ilmu yang paling dasar dari pada ilmu pengetahuan. Ilmuwan dari segala displin ilmu memanfaatkan ide-ide dari fisika, mulai dari ahli kimia yang mempelajari struktur molekul sampai paleonteologi yang berusaha merenkontruksi bagaimana dinosaurus berjalan. Fisika juga merupakan dasar semua ilmu rekayasa dan teknologi. Tidak ada insinyur yang dapat merancang alat-alat praktis tanpa terlebih dahulu mengerti prinsip-prinsip dasar yang digunakan. Untuk merancang sebuah pesawat antariksa aru sebuah perangkat tikus yang lebih baik, anda harus mengerti hukum-hukum dasar fisika.

Tetapi dalam hal ini ada alasan lain, mempelajari Fisika merupakan suatu petualangan. Anda akan menemukan bahwa ilmu ini begitu menantang, kadang-kadang membuat frustasi, sewaktu-waktu menyakitkan, seringkali bermanfaat, dan memberikan kepuasan batin. Fisika akan menarik rasa estetis seperti halnya intelektual anda. Pengertian tentang dunia fisika yang kita miliki saat ini di bangun diatas fondasi yang diletakkan oleh ilmuwan-ilmuwan besar seperti Galileo, Newton, Maxwell, dan Einstein, dan pengaruh mereka telah berkembang jauh melewati batas dari ilmu fisika itu sendiri dan mempengaruhi secara mendalam cara hidup dan berfikir kita. Anda dapat merasakan kesenangan dengan temuan-temuan mereka ketika anda belajar menggunakan fisika untuk menyelesaikan persoalan-persoalan praktis dan untuk mendapatkan wawasan tentang fenomena sehari-hari. Jika anda pernah bertanya mengapa langit berwarna biru, bagaimana gelombang radio dapat merambat dalam ruang dan waktu. Semuanya kita mendapatkan jawabannya dengan menggunakan ilmu fisika. Diatas semua itu anda akan melihat prestasi menjulang dari intelektual manusia dalam pencariannya untuk mengerti fisika terutama dunia ini.

Hakikat Fisika

Fisika itu adalah ilmu eksperimental. Fisika mempelajari fenomena alam dan berusaha menemukan pola dan proses yang menghubungkan fenomena-fenomena ini. Pola ini merupakan teori fisika atau ketika mereka sudah benar-benar berhasil secara luas. Dalam hal ini fisika disebut hukum dan prinsip jika dilihat perkembangan teori fisika memerlukan kreatifitas dalam pertahapannya. Fisikawan harus belajar untuk mengerti pertanyaan yang tepat, merancang percobaan untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan itu, dan menarik kesimpulan yang tepat dari hasilnya.

Menurut cerita, Galileo Galilei (1564-1642) menjatuhkan objek ringan dan berat dari puncak Menara Pisa, dengan tujuan untuk melihat apakah laju jatuh objek-objek tersebut sama atau berbeda Galileo mengetahui bahwa hanya penyelidikan dengan percobaan yang bisa menjawab pertanyaan itu. Dari pengujian hasi percobaanya dia membuat langkah induktif untuk menyimpulkan suatu prinsip, teori, bahwa percepatan dari sebuah objek yang jatuh itu tidak tergantung pada beratnya.

Perkembangan dari teori fisika sepeti teori Galileo selalu merupakan proses dua arah yang dimulai dan diakhiri dengan pengamatan atau percobaan. Perkembangan ini sering kali menempuh jalan yang berliku-liku, dengan Lorong yang gelap, duagaan-duagaan yang salah, dan membuang teori-teori yang gagal demi teori-teori lain yang lebih menjanjikan. Fisika bukanlah sekedar kumpulan fakta dan prinsip ;fisika adalah proses yang membawa kita pada prinsip-prinsip umum yang mendeskripsikan bagaimana perilaku dunia fisik.

Tidak ada teori yang dianggap benar untuk selamanya. Akan selalu ada kemungkina pengamatan-pengamatan baru, yang memberikan bukti bahwa sebuah teori harus diperbaharui atau dibuang. Dalam dunia fisika, kita dapat membatalkan suatu teori bila kita menemukan gejala-gejala yang tidak konsisten dengan teori tersebut. Tetapi kita tidak akan pernah dapat membuktikan bahwa suatu teori selalu benar.

Setiap teori fisika memiliki suatu rentang keberlakuan, dimana diluar rentang tersebut teori tidak dapat berlaku. Seringkali suatu perkembangan baru dalam fisika memperluas rentang keberhasilan/keberlakuan suatu prinsip. Bagian terpenting dari hubungan antara teori dan percobaan adalah mempelajari bagaimana cara mengaplikasikan prinsip-prinsip fisika pada berbagai persoalan praktis.

Fisika itu menyenangkan dan penuh dengan tantangan

Erwin Gea

Cukup dengan sebuah prinsip kamu bisa membentuk suatu alat yang tidak pernah kamu duga sebelumnya.

hukum faraday dan lenz

Hukum faraday

erwingea_pendfis16’_fsmuksw

Faraday mempunyai  hipotesis bahwa jika sebuah arus dapat menghasilkan medan magnet maka sebaliknya medan magnet dapat menghasilkan arus listrik.

Eksperimen Faraday

Gambar 1. eksperimen Faraday

Pada awalnya sebuah magnet diletakan agak berjauhan dari kumparan yang dihubungkan dengan galvamoter, dimana jarum  galvometer menunjukkan angka nol. Ketika magnet masuk kedalam kumparan maka jarum galvometer bergerak kearah kanan, pada saat magnet didiami diposisi tertentu dalam kumparan maka jarum galvometer menunjukkan angka nol. Ketika magnet ditarik menjahui kumparan maka jarum galvometer menunjuk kearah kiri pada saat magnet didiamkan lagi dalam kumparan maka jarum galvometer menunjukkan angka nol. Demikian kalau kumparan yang bergerak akan menunjukkan kasus yang sama. Dari percobaan yang dilakukan ditemukan bahwa semakin cepat perubahan medan magnet semakin besar pula gaya gerak listrik yang diinduksi oleh kumparan.

Tgl muncul ketika ada perubahan medan magnet atau dalam arti ada perubahan fluks.

Didalam hukum faraday kita membahas perubahan fluks terhadap waktu (kecepatan dari fluks),perubahan fluks ini yang menyebabkan tgl (tegangan gerak listrik)

Tegangan gerak listik pada dasarnya adalah tengangan yang timbul karena pergerakan konduktor berarus dalam sebuah medan magnet atau karena ada perubahan medan yang berubah ubah.

Dimana

    Tgl    = tengangan gerak listrik (Volt)

=perubahan fluks terhadap waktu

     V     =tegangan     

                                                                         

Dimana fluks besarnya

Faraday melakukan percobaan dengan menggunakan sebuah simpal berarus yang dihubungkan dengan galvometer dan sebuah magnet maka, faraday mendapatkan besar tegangan yang terjadi

Tanda negative menengindikasikan suatu arah dari tegangan gerak listrik imbas (akan dibahas dihukum

lenz)

jika simpal disimpal tersebut diganti dengan suatu kumparan dengan jumlah lilitan yang identic terhadap lilitan yang lainnya, maka fluks yang melalui tiap lilitan akan sama besarnya maka secara matematis dapat di tuliskan

Dimana

N= jumlah lilitan

Hukum faraday kita kenal ada 2 ;

Hukum faraday pertama berbunyi; Setiap perubahan medan magnet pada kumparan akan menyebabkan tegangan gerak listrik yang diinduksi oleh kumparan tersebut.

Tegangan gerak listrik tgl ……….(Volt)

Total fluks listrik =  ……….(Weber)

hukum faraday dan lenz

Hukum faraday kedua

Ggl dalam rangkaian tertutup sebanding dengan perubahan kecepatan fluks terhadap waktu

Jika ada rapat fluks magnet (B) yang berubah terhadap waktu dan menembus suatu  bidang yang dikelilingi lintasan tertutup, maka akan  menghasilkan medan listrik (E)  yang arahnya  sesuai dengan  arah  lintasan tertutup tersebut ( mengelilingi bidang dS ).

Arah rapat fluks magnetik (B) dan arah  medan listrik (E), sesuai dengan aturan tangan kanan.

Dalam hukum faraday hanya menghitung besar dari nilai tgl (  tetapi dia tidak memperhatikan arah tgl maka seorang fisikawan yang bernama lenz melakukan eksperimen mengenai arah tgl dengan melanjutkan percobaan faraday.

Hukum lenz

Hukum lenz berbunyi arus imbas akan muncul didalam didalam arah yang sedemikian rupa sehingga arah tersebut menetang perubahan yang mengahasilkannya

Arus imbas Menetang penyebabnya.

Menentukan arah tgl

Didalam hukum lenz tidak ada persamaan yang muncul karena bapak lenz tidak suka terhadap matematika

Eksperimen lenz ada beberapa langkah

1.       Tentukan arah positif dari vector A

2.       Asumsikan nilai dari B serangam yang melalui luasan A, dan perkalian dot antaran A.B menghasilkan nilai fluks

3.       Hasil dari turunan  yang mungkin adalah

0>, maka <0

0<,maka, >0

0=,maka =0

			i
+	+	-	-
+	-	+	+
-	+	-	-
-	-	+	+

Gambar 2. Eksperimen hukum lenz

Erwin gea

ilmu adalah harapan orang banyak

Kinematika sederhana

Kinematika

erwingea_pendfis16'_fsmuksw

Hi guess, dalam mempelajari fisika terutama pada kasus-kasus sederhana dan yang paling dasar, kita sudah kenal bersama bahwa kinematika merupakan salah satu cabang ilmu Fisika yang mempelajari tentang gerak suatu benda. Kinematika adalah ilmu yang membahas serta mempelajari tentang gerak tanpa meninjau penyebab terjadinya gerak. Dalam setiap hari kita selalu berpindah dari posisi yang satu keposisi yang lainnya dan ri situlah muncul konsep perpindahan, kecepatan serta percepatan akibat dari perubahan kecepatan.

Pengertian Kinematika dan Fungsi Kinematika di Dalam Fisika

Defenisi Kinematika :

Secera umum kinematika adalah cabang ilmu fisika yang mempelajari tentang gerak dari partikel titik yang membentuk suatu lintasan atau area geometris geraknya, dalam hal ini meninjau gerak partikel bukan meninjau penyebab terjadinya gerakan. Kinematika merupakan suatu fungsi dari waktu.

Ada beberapa manfaat mempelajari kinematika

1.    Perancangan suatu gerak

2.    Untuk memprediksi suatu peristiwa

3.    Model (analogi) bagi fenomena-fenomena lain di luar ruang lingkup fisika

Gerak yang dipelajari dalam kinematika adalah

a.    Gerak 1 dimensi; gerak yang lintasanya berbentuk garis lurus (GLB,GLBB,GLBTB)

b.    Gerak 2 dimensi; gerak yang lintasanya berada dalam sebuah bidang datar (gerak melingkar, gerak parabola)

c.    Gerak 3 dimensi ; gerak yang lintasannya berada dalam ruang

d.    Gerak relative

Adapun beberapan besaran fisika yang dipelajari dalam kinematika

Ø  Perpindahan (displacement)

Ø  Kecepatan (velocity)

Ø  Percepatan (acceleration)

Perpindahan

Perpindahan didefenisikan sebagai  perubahan posisi sebuah objek/partikel, dan sering dinyatakan dalam letak sebuah titik, vector posisi yang menjadi acauan.

Kecepatan

Kecepatan didefenisikan sebagai besarnya perpindahan yang tejadi pada rentang waktu tertentu selama dari titik acuan sampai objek/partikel menjadi diam. Kecepatan sebuah objek atau partikel adalah laju perubahan posisi objek/partikel terhadap selang waktu tertentu.

Percepatan

Percepatan sebuah partikel adalah laju perubahan kecepatan partikel terhadap waktu. Percepatan adalah perubahan kecepatan persatuan waktu(laju kecepatan). Hubungan percepatan dengan waktu memiliki analogi dengan hubungan kecepatan waktu.

Erwin gea

ilmu adalah harapan generasi muda.pengertian kinematika

penggagas deret tak terhingga

Penggagas Deret Takterhingga

Erwingea_pendfis16’_fsmuksw

Kutipan syair:

Adalah benar bahwa matematikawan, yang agaknya bukan seorang penyair, tidak akan pernah menjadi seorang matematikawan sempurna, tetapi seorang fisikawan dia bisa menjadi matematikawan tanpa menjadi seorang penyair.

            Banyak nama yang dikaitakan dengan deret tak terhingga. Newton, Leibniz, keluarga Bernouli, Taylor, Maclaurin, Euler, dan Lagrange memakai deret dalam karya mereka. Mungkin tidak ada subjek lain menyebabkan pertentangan matematis yang lebih banyak, ini karena semua matematikawan yang lebih dini gagal untuk mebedakan secara cermat antar deret konvergen dan divergen. Kenyataanya, Cauchy (1789-1857) merupakan orang pertama yang memberikan defenisi persis tentang kekonvergenan dan membuktikan sjumlah pengujian kekonvergenan dalam bab ini. Sampai kemudian, Karl Weierstrass mengembangkan teori lengkap tentang deret fungsi penyusun dan menyusun legitimasi operasi-operasi yang demikian sebagai pengintergralan dan pendiferensialan suku demi suku.

Foto Karl Weierstrass

penggagas deret tak terhingga

            Terlahir di Jerman, Karl Weierstrass belajar hukum di universitas Bonn tetapi gagal memperoleh gelar. Ia memang lulus ujian negara untuk guru dan untuk 15 tahun mengajar subjek-subjek seperti mengarang dan olah raga senam, sementara mempelajari matematika dimalam hari. Dari posisi tak dikenal disebuah kota kecil, ia kemudian melakukan karya dalam matematika yang dapat dibandingkan dengan yang terbaik di Eropa. Beberapa hasil yang diterbitkan memberinya undangan untuk lebih dulu mengajar di Technical Institute di Berlin kemudian di Universitas Berlin. Dari sana pengaruhnya menyebar keseluruh dunia matematika.

            Karl Weierstrass adalah seorang pemikir metodis yang cermat, ia bersihkeras pada ketepatan yang lengkap disemua matematika dan menetapkan pembakauan yang diakui dan ditiru sampai sekarang untuk teori dan materi deret takterhingga.  

Erwin Gea

Referensi

Kutipan buku kalkulus dan Geometri analitis, karya Edwin J. Purcell dkk, Edisi ke lima, Erlangga.

           

penerapan tekanan hidrostatis di akurium yang

erwingea_pendfis16'_fsmuksw

kasus ikan dalam kolam dengan penerapan terhadap termodinamika

kasus!!!!
kenapa gelembung air yang keluar dari mulut ikan diakuarium semakin keatas semakin besar ?

dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali kasus-kasus fisika yang kita temui mulai yang nampak secara kasat mata maupun tidak kasat mata, salah satu kasus yang kita temui adalah kasus ikan didalam kolam atau akurium, seraya memperhatikan hal tersebut, kita pasti tahu dan tak asing lagi melihat kejadian dimana ketika gelembung-gelembung udara dari bawah atau dari mulut ikan semakin kepermukaan air semakin besar gelembungnya.

Dalam hal ini kita terapkan konsep tekanan pada materi termodinamika, dimana kasusnya kedalaman dari ikan kita tinjau itu sebagai h dan tekanan hidrostatis didalam air sama dengan tekanan hidrostatis diruang udara atau diatas permukaan air ph, sedangkan tekanan dari suatu titik kedalaman bisa berubah akibat dari fungsi dari kedalaman f(h), sedangkan gravitasi bumi yang dikerjakan pada berbagai kedalaman bernilai sama untuk setiap titik.

dalam kasus itu kita bisa menerapkan   dimana pada  P_{0 tekanan awal}

semua ketinggian dan tekanan  P_h tekanan hidrostasis . Tekanan Hidrostatis adalah tekanan dalam zat cair yang disebabkan oleh tekanan zat cair itu sendiri,

penerapan tekanan pada ikan di akuariumpenerapan tekanan pada ikan yang ada diakuarium

persamaan tekanan Hidrostatis : 

dalam hal ini   P_h  merupakan fungsi dari ketinggian, dalam arti h semakin tinggi maka semakin besar nilai dari tekanan Hidrostatis, terus jika kita mau menjawab pertanyaan awal yaitu kenapa semakin keatas volume gelembung air semakin besar. Jawaban kasus tersebut cukup simple, karena pada persamaan gas ideal udara kita anggap molekul-molekulnya dalam keadaan yang ideal karena partikel-partikel gasnya tidak memiliki volume dan tidak ada gaya tarik yang menyebabkan molekul-molekul gas tersebut saling bertarikkan,mempunyai kecepatan dll. Oleh karena semakin besar tekanan berbanding terbalik dengan volumenya, maka pertanyaan awal kita terjawab.

persamaan gas ideal :

PV = nRT

PV = kNT

diamana kasus ini semakin kecil tekanan dalam akuarium, akibat faktor dari ketinggian.

EFEK DOPPLER

Efek Doppler

erwingea_pendfis16'_fsmuksw

Efek Doppler sering kita temui dalam kehidupan sehari-hari, efek doppler menjadi kasus dalam yang ada disekitar kita, salah satu contohnya adalah ketika kamu mengendari mobil/motor kamu pasti berpapasan dengan kendaraan lainya atau mendahului kendaraan lain, sebelum kamu berpapasan dari kejahuan  membunyikan clakson. dari peristiwa tersebut kita kenal dengan sebutan effek dopper. 

secara fisika dapat efek doppler adalah sebuah fenomena perubahan frekuensi karena pengaruh gerak relatif antara sumber bunyi dan pendengar, pertama kali diamati oleh Christian Doppler. Jika antara sumber bunyi dan pendengar tidak ada gerakan relatif, maka frekuensi sumber bunyi dan frekuensi bunyi yang didengar oleh seseorang adalah sama. Namun, jika antara sumber bunyi dan si pendengar ada gerak relatif, ternyata antara frekuensi sumber bunyi dan frekuensi bunyi yang didengar tidaklah sama.    

Suatu contoh, misalnya ketika Anda naik bis dan berpapasan dengan bis lain yang sedang membunyikan klakson, maka akan terdengar suara yang lebih tinggi, berarti frekuensinya lebih besar dan sebaliknya ketika bis menjauhi anda, bunyi klakson terdengar lebih rendah, karena frekuensi bunyi yang didengar berkurang. Peristiwa ini dinamakan Efek Doppler.  Jadi, Effek Doppler adalah peristiwa berubahnya harga frekuensi bunyi yang diterima oleh pendengar (P) dari frekuensi suatu sumber bunyi (S) apabila terjadi gerakan relatif antara P dan S. Oleh Doppler dirumuskan sebagai

persamaan umum efek doppler ;

Efek Doppler

fP =adalah yang didengar oleh pendengar.
fS =adalah frekuensi yang dipancarkan oleh sumber bunyi.
vP = adalah kecepatan pendengar.
vS =adalah kecepatan sumber bunyi.
v  = adalah kecepatan bunyi di udara.


catatan
Tanda + untuk vP dipakai bila pendengar bergerak mendekati sumber bunyi.
Tanda - untuk vP dipakai bila pendengar bergerak menjauhi sumber bunyi.
Tanda + untuk vS dipakai bila sumber bunyi bergerak menjauhi pendengar.
Tanda - untuk vS dipakai bila sumber bunyi bergerak mendekati pendengar.